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1. 了解无理数、实数的意义，能对实数按要求进行分类；了解实数的相反数、倒数、绝对值的意义，了解实数与数轴上的点具有一一对应关系；了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用；能根据具体情况，灵活选择方法比较两个实数的大小。

2. 经历无限不循环小数产生的过程，认识学习无理数的必要性并从中体会逐次逼近的思想。

3. 通过对教学过程的积极参与，培养学生对数学学习的兴趣，增强克服困难的勇气和信心。

 

1. 教学重点：无理数、实数的概念。

2. 教学难点：无理数、实数的概念及实数与数轴上的点一一对应关系的理解；无理数的大小比较。

 

本节主要内容是在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数的概念从有理数范围扩充到实数范围。教材首先通过思考题得到，用逐步逼近的方法探究是一个无限不循环小数，进而通过与有理数比较的方法引出无理数的概念以及实数的概念，并将实数按两种方式进行分类。在此基础上，通过与有理数类比的方法说明实数与数轴上的点一一对应关系；将相反数、倒数、绝对值的概念扩展到实数范围；研究实数的简单四则运算以及实数的大小比较方法等。

 

1. 思考:如图1(1)，由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1。从这些纵横线相交得出的20个点(称为格点)中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形。你能找出多少种面积互不相同的格点正方形?

(1) 有面积分别的1、4、9的格点正方形吗?

(2) 有面积是2的格点正方形吗?把它画出来。

如图1(2)，四个边长为1的相邻正方形的对角线就围成一个面积为2的格点正方形，设边长为x，则x^2=2，因为x>0，所以x=。

                       

图1

2. 设问:是一个怎样的数呢?引入新课。

【设计意图】根据学生已有的经验找面积为1，4，9的格点正方形，在此基础上，由浅入深，再让学生找面积为2的格点正方形，因学生已经学习了数的开方知识，很容易知道其边长为。而“到底是什么数呢?”这一设问，引发学生的认知冲突，激发了学生的求知欲。带着疑问，自然引入新课学习。

1. 探究：是一个怎样的数?

(1) 你能估计的大致范围吗?可能是整数吗?为什么?

(2) 你能将的大小范围精确到十分位吗?试试看，并与同伴合作、交流；

(3) 你能采用类似的方法将的大小范围精确到百分位吗?与同伴合作并交流。

(4) 通过上面的探究，你发现什么?

2. 回顾：

(1) 有理数包括整数和分数，整数和分数可以统一写成分数的形式(整数可以看作分母为1的分数)；

(2) 任何分数都可以化为有限小数或无限循环小数；

(3) 任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式，因此，有理数是有限小数或无限循环小数；

(4) 是一个无限不循环小数，它不是有理数。

3. 引入概念：

(1) 无理数：无限不循环小数，叫做无理数；

(2) 举例：引导学生举出正无理数后，再举一些负无理数；

(3) 分类：无理数可分为正无理数与负无理数；

(4) 实数：有理数和无理数统称为实数；

(5) 实数分类：

提问：还有其他分类方法吗?如何分类?

(6) 下列各数中，哪些是有理数?哪些是无理数?

【设计意图】学生经历无限逼近的方法探究认识，发现它既不是整数，也不是分数，亦不能化为有限小数或无限循环小数，从而判断它不是有理数，引入无理数的概念。在引导学生举出无理数实例过程中，发现无理数可以分为正无理数和负无理数。有了无理数，学生对数系的认识扩充到实数。对实数的不同分类体现了数学的分类思想。总之，概念的引入，符合学生的认知规律。

1. 实数和数轴上点的关系

(1) 每一个有理数都可用数轴上的一个点来表示，无理数是否可用数轴上的点来表示呢?你能尝试将无理数(图2)用数轴上的点表示吗?

图2

(2) 拓广：与有理数一样，每个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示。

(3) 归纳：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。

(4) 反过来，数轴上的点不是表示无理数就是表示有理数。即：数轴上的每一个点都表示一个实数。

(5) 实数和数轴上的点具有何种关系?

2. 实数的相反数、倒数、绝对值，运算法则和运算律

(1) 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数的范围内完全一样。你能说出-的相反数、倒数和绝对值吗?

(2) 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。

(3) 提问：

① 两个无理数的和仍然是一个无理数吗?

② 两个无理数的积仍然是一个无理数吗?

(4) 计算：

3. 实数的大小比较

(1) 回顾：有理数的大小比较方法，既可以借助于数轴比较，也可以根据结论“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而小”进行比较 。

(2) 讨论：如果a>0,b>0，且a>b，如何比较和的大小?学生思考、讨论、交流，鼓励学生发表自己的见解，最后归纳得出：上述结论在实数范围内仍然成立。例如：>,-<-。

(3) 思考：比较与1/3的大小?

展示两个学生不同的比较方法，鼓励其他学生积极思考给出其他不同的方法。

① 用计算器求得≈0.215，1/3≈0.333，所以<1/3；

② 因为<3，所以-2<1，因此<1/3。

【设计意图】学生已经掌握了有理数可用数轴上的点来表示，提出“无理数是否可用数轴上的点来表示”，以此引导学生对这一无理数的特例在数轴上表示的尝试，得出无理数也可用数轴上的点来表示，进而及时小结，归纳出“实数可用数轴上的点来表示”这一结论。反过来，数轴上的点不是表示无理数就是表示有理数，再让学生体会实数和数轴上点的关系，运用了类比有理数的方法，体现出数学思维的严密性。再用类比的方法，根据数学知识的正迁移，继续学习实数的相反数、倒数、绝对值，以及有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。仍然运用类比的方法，学习实数的大小比较，是对学生认知结构的完善。

(1) 通过本节课的学习，谈谈你的收获，还有哪些疑惑?

(2) 在学习本节课新知时，用到了哪些数学思想方法?

【设计意图】通过让学生畅谈本节课学习的感受，获得数学学习的情感体验。由知识的小结提升到数学思想方法的回顾，从而对解决问题过程的反思获得解决问题的经验，在培养学生自主发展、自主反馈意识方面迈出了一大步，同时也必将得到知识、能力与情感态度等方面的提高和促进。

习题6.2第1、2、3题。

【设计意图】作业的布置，一方面旨在帮助学生巩固本节课所学新知，另一方面也能及时反馈学生掌握新知的情况。

 

本节课的设计遵从学生的认知水平，通过学生经历对问题的探索，发展学生运用数学思维思考问题，获取解决问题的方法。同时，学生间的合作、探究、交流、归纳，对于培养学生的合作意识、观察能力、从具体问题中进行抽象概括能力，以及使用数学语言有条理地表达自己的思考过程等有明显帮助。学生对于概念的学习，普遍感到枯燥、抽象，但教学中牢牢让学生握紧类比这种方法，结合具体情景让学生理解无理数和实数的概念，这样学生对概念的理解深刻，而不是简单的记忆。