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一元二次方程

文件大小:0.10 MB 文件类型:.doc 运行环境:Win2003/XP/2000/9X 推荐等级:★★★★★ 发布时间:2012-03-14 官方网址:http://jc.sstp.cn 下载次数:
课件介绍

谷至民  安徽省马鞍山市第十三中学

一、教学目标
知识与技能:了解一元二次方程的一般形式,熟练地将相关方程写成一元二次方程的一般形式,准确确定一般形式中的a,b,c。
过程与方法:经历一元二次方程的发现与归纳过程,运用类比和化归的思想方法学习和探索新知。
情感、态度与价值观:通过数学活动进一步促进数学思维的形成,理解“特殊与一般”的辩证关系,进而提升思维品质。

二、教学重、难点
重点:一元二次方程的归纳和一般形式的确定。
难点:准确确定一元二次方程一般形式下的a,b,c

三、教材分析
一元二次方程是初中阶段的第二种“基础方程”,是在一元一次方程基础上的进一步延伸。一元二次方程不但是重要的求值工具,而且其解法中的开平方法、配方法、因式分解法及根的判别式、根与系数的关系所蕴涵的数学思想和方法极其重要。
要熟练掌握一元二次方程的解法,必须对一元二次方程的一般形式有准确的认识,因此准确理解一元二次方程概念,准确确认一般形式中的a,b,c是学好一元二次方程的重要前提。

四、教学设计

教学流程:活动一 → 一元二次方程定义 → 巩固练习 → 活动二 → 一般形式 →  应用举例 → 课堂练习 → 课堂小结 → 作业

教学过程:

(一)一元二次方程定义

活  动一:⑴谁知道“无公害蔬菜”是怎么回事?猜想一下这个词产生的背景……(ⅰ)
⑵P40“问题1”某地为增加农民收入,需要调整农作物种植结构,计划2007年无公害蔬菜的产量比2005年翻一番。要实现这一目标,问:
① 这两年间无公害蔬菜产量的总增长率是多少?……(ⅱ)
② 2006和2007年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少?
这两个问题中的增长率有区别么?尝试列方程加以说明,并尝试化简,你所列的两个方程是同一种方程么?

学    生:思考,交流,列式,回答(分组思考,学生上黑板板演)。
师    生:辨析,引导 → 无公害蔬菜与绿色食品;翻一番;单位1与辅助字母……

结    论:⑴涉及百分比(增减率)问题关键弄清“单位1”是谁。
          ⑵年平均增长率与总增长率是有区别的!由于单位1的变化不能简单的将第一问的总增长率二等分。
          ⑶方程分别为:a(x+1)=2a与a(1+y)^2=2a 。
          即:x+1=2与y^2+2y+1=2
前为一元一次方程,后为一元二次方程(对比引发归纳定义——尽量由学生完成)。

定    义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程
          ——quadratic equaion with one unknow.

设计说明:(ⅰ)无公害蔬菜的问题关联了“问题1”,同时拓展了数学课的外延,加强了学生对绿色和无公害的重要性的认知。目的是贴近社会热点和生活,从而引起学生兴趣,吸引学生的注意力,避开数学课“由数学到数学”的乏味怪圈,还数学的本质与血肉 ——数学是源于生活而又服务于生活的。
         (ⅱ)加问这一问题是为了突破学生对增减率的惯性认知,为递增(减)率的学习提供铺垫,引起学生认知冲突(不少学生看到第二问的“平均”会去用第一问的增长率去二等分),引发学生反省——“思考再思考”来发现总增(减)率与递增(减)率的区别;同时也是有意构造出一个一元一次方程,为一元二次方程的概念的对比归纳埋下伏笔。

巩固练习:P41练习1.判断下列方程中,哪些是一元二次方程?(投影、口答、追问理由)
          ⑴x^2+1/2x-3=0   ⑶x^3-x+4=0   ⑷x^2-2y-3=0   ⑹2x^2=0
结    论:三关键——一元、二次、整式方程!

          (二)一元二次方程的一般形式
活  动二:快速抢答P41练习1.⑵4x^2+3x-2=(2x-1)^2 是几元几次方程?谈谈你的理由……(ⅲ)

学    生:思考,交流,抢答。
师    生:辨析,引导 → 先整理再判断!(基本上可以由学生争论得出)。

结    论:看问题应看实质,不要被表面现象所迷惑(引出“一般形式”的话题)。

一般形式:形如ax^2+bx+c=0(a≠0)的方程叫一元二次方程的一般形式或标准形式。其中ax^2叫二次项,a是二次项系数;bx叫一次项,b是一次项系数;c叫常数项。

说    明:⑴代数中的规范表达采用了前面我们学过的多项式的降幂排列形式,使人一目了然,应养成习惯。→谁能快速说出一元三次方程的一般形式……(ⅳ)
          ⑵为什么要 (学生可以完成)。

设计说明:(ⅲ)此练习的抽入是为引起向一般形式的过渡和思考。
         (ⅳ)适时适度巩固拓展,发现规律。
         
(三)应用举例
          P41“例”把方程3x(x-1)=2(x-2)-4化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

学    生:对比板演。
师    生:辨析,点评。

结    论:⑴一般形式: 3x^2-5x+8=0二次项系数是3,一次项系数是-5,常数项是8。
          ⑵注意:项及系数是带符号的,如一次项是-5x而非5x!一次项系数是-5而非5!!

          (四)课堂练习——分题投影
          1.牛刀小试:p42练习2.指出下列方程中的a,b,c ……(ⅴ)
          ⑴5x^2=6x-8                        ⑵1/2-2x^2=0         ⑶x(x-1)=0                        

2.生活中的一元二次方程——列出方程后,将方程转化成标准形式(不求解)。
⑴P40“问题2”在一块宽20m、长32m的矩形空地上,修筑宽相等的三条小路(两纵一横,纵向与横向垂直),把矩形
空地分成6块建成小花坛。要使花坛总面积为570 ,问小路的宽应为多少?……(ⅵ)


 

⑵P42练习3.将48张桌子排成若干行,且每行的桌子数目相同,已知每一行的桌子数比总行数多2,求这些桌子排了多少行?


3.打开思维:
⑴P41练习1.第五小题:(m+1)x^2+3x+1=0是一元二次方程么?说说你的看法……(ⅶ)
⑵P42练习4.下面哪些数是方程x^2+x-2=0的根?你有什么发现?……(ⅷ)
       -3   -2   -1      0,    1,    2,    3.
设计说明:(ⅴ)此处拿掉文字说明,改为直接确定a,b,c是为了加深学生对字母系数的关注,为后面的解法等知识点的学习做准备,同时这几道题的讲解应突出各系数的符号性及方程两边可同时乘 使二次项系数为正数为要点。
         (ⅵ)“问题2”原来的作用是想与“问题1”一起来归纳一元二次方程定义,但经过对“问题1”的处理,学生已经能通过“问题1”两个方程的对比认知一元二次方程的定义;其次从认知心理学的角度来说,学生的注意力在开课后8——10分钟达到峰值,所以将“问题2”后置于练习,与“练习3”一并。
               在“问题2”的练习时应让学生大胆思考回答,力争从多角度加以解读,特别是从图形的平移的角度应作为重点加以突破。
          (ⅶ)此题单独抽出是基于它的多种解读途径:一是突出对二次项系数 的理解;二是对多字母在没有确定谁是未知数时的思考的严密性的锻炼( 也可以是未知数!)。
          (ⅷ)后面一问的添加是为了强化本题的承上启下(由概念过渡到下节的解法)的作用。

         (五)课堂小结
          投影:⑴今天我们见到了哪种新方程?它的一般形式是怎样的?为什么a≠0 ?
其他种类的一元整式方程的一般形式会写了么?
      ⑵如何确定a,b,c?哪儿容易出错?
      ⑶总增(减)率和递增(减)率的区别关键是什么?
      ⑷学习中应注意类比与转化思想的运用!

(六)作业:P42习题20.1   1、2、3.
            有兴趣了解一元二次方程的解法的同学可以适当预习20.2。
五、板书设计:
左侧:标题、定义、要点、注意事项         中、右侧:例题、练习、解答

六、教学设计说明:
1、关注课堂引入,化有痕为无痕,直接关注学生生活体验和热点,力争信手拈来,短小精悍。
2、关注学生认知前区,注意渗透类比,自然促成认知矛盾,激发探索兴趣,提供探索平台,促成结果发现,体验成功,养成习惯,增强信心。
3、关注练习的对应性和典型性。
4、关注适度延展,承接认知后区。
5、注意积极评价,分层提问。
6、整合教材,因地制宜地进行裁剪与增补,要有用教材的意识!

备注与共勉:适宜的才是最好的,不要追求千篇一律。一定要关注自己的学生的发展情况,在宏观上依据新课标所提出的理念进行适当整合。教材是载体是平台,是学生学会学习、学会思考、学会创新的原料。

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