安徽省马鞍山市成功中学 汪宗兴
摘要：
本文结合自已教学第六章、第七章、第八章（沪科版七年级下册》）内容，从学生在解题中出现的大量错误入手，揭示学生的思维过程，剖析产生错误的深层次原因，谈谈自已在改进教学策略方面的点滴体会!
关键词: 解题错误 错误原因 教学策略
1、问题的提出
课堂中学生正确的答案、精彩的见解、独特的解题思路，常常容易引起教师给与他们极大的关注，而容易被人忽视甚至遗忘的，常常是学生在学习过程中出现的错误．笔者从事初中数学教学工作有十多年，经常发现每届学生在一些问题上犯同样的错误．其实，在学习过程中学生不可避免地会发生错误，其出现的原因、形式、性质、层次都是不一样的．
有的老师抱着“这些题型我都讲过了”的心理，总喜欢将错误完全归罪于学生，归因于没有好好听课等．如何减少错误的发生，找到错误的深层次原因，找出解决的办法是一个很有研究价值的问题！
美国著名的教育心理学家桑代克(E.L.Thorndike)提出了“试误说”的学习理论，他认为学习的过程是一种渐进的尝试错误的过程，在这个过程中，无关的错误的反应逐渐减少，而正确的反应最终形成．面对错误，回避不是办法，我们只有正视学生的错误，从学生的角度去模拟出错的情境，体验出错的原因，才能了解其背后的学习障碍！
如何让学生正视解题错误，认识错误的深层次原因，减少错误发生的次数？本文将结合自已教学第六章、第七章、第八章（沪科版七年级下册）内容时，学生犯的一些“典型错误”，谈谈自已在改进教学策略方面的点滴体会．
2、常见解题错误原因剖析
学生在数学学习中犯错误是必然的，应当允许他们犯错误．学生在数学学习中犯错误，是由于学生在重新建构数学知识过程中发生偏差的结果，它本身体现了学生数学学习的过程．有道是失败是成功之母．学生在数学学习中犯错误及其对错误的认识，恰恰是学生获得和巩固数学知识的重要途径．因此，教师害怕学生出现解题错误，甚至对错误采取严厉禁止的态度是大可不必的．教师应做的是通过分析学生数学学习中的典型错误，采取相应措施，从而预防和减少学生犯错的机率，帮助学生建构好新的数学知识体系．
下面就本学期学生作业中出现的部分错误作些分析，为保证其“原汁原味”，许多片断我采用扫描的形式．
2．1概念理解上的偏差
本学期初学习《第6章 实数》：这是一道解方程的题目，意在考查学生对平方根概念的掌握情况
片断1：
许多学生在解题过程中，将“ ”理解成一个数的平方根的符号，错误认为 表示4的平方根．这显然是将“”与“±”混淆了，说明学生对“”的本质没有掌握．显然 表示a的算术平方根，它只有在a≥0时有意义．
2．2受思维定势的影响
片断2：
这是一道考查立方根和算术平方根的计算题，在任教的两个班（共132人）中有20人的计算结果是4，开始我以为一些同学之间相互抄袭所致，但仔细观察发现：正如该学生做的第一步一样，他们都认为64^（1/2）=4，显然是受了前三个数的立方根的影响，按照这种习惯的思路去做，自然就把64^（1/2）当成64的立方根4了．学习过程中，这种应用知识技能的心理准备状态，教育心理学上称之为思维定势．在数学学习中，思维定势表现为一种思维的趋向性，即总是按照某种习惯的思路去考虑问题．教师经常要求学生熟练地掌握概念、定理、公式、法则，并能正确应用，为的是培养学生形成积极的思维定势．然而，思维定势的消极作用会将思维者的思路引入歧途，或导致呆板的思考，机械地做题，从而束缚思维的发展，最终不能解决问题．
片断3：-0.333，4^(1/2)，5^(1/2)，-π，9^(1/3)，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0），这些数中无理数有（ ）
A、3个 B、4个C、5个D、6个
这是一道选择题，我不解有许多学生选择B，我访谈其中几个学生，得知他们一致认为最后一个数是无理数，问其原因都说记得平时做过类似的问题时，它都是无理数，我又问其什么是无理数时？他们也能背出定义．调查发现，多数学生在拿到题目时，不是重整思路，而是首先看是否做过，若遇到熟悉的题目则按以往的方法进行解决．可见，做过的习题对中学生的影响是很大的，有时甚至会形成思维定势，不利于学生解决新的数学问题．当学生遇到形式上类似，实质却有区别的题目时，受思维定势的消极影响，错误便接踵而至了．
现今数学习题集越来越多了，但也不乏互相转载抄袭的情况．做一定数量的习题确实有助于学生巩固数学知识，然而过多地重复类似甚至相同的习题，学生难免会形成思维定势，不利于他们解题能力的提高和数学思维的发展．一些教师在课堂内施行所谓的“类型+方法”式教学，让学生在题海中找到应付考试的“套路”．久而久之，学生思想就会僵化，形成解题方法的思维定势．一旦接触到类型以外的问题，就会感到无所适从，不善于另辟途径．过多的机械练习造成学生思路狭窄，只会按“套路”解题，只要题目稍作变动就没有能力解决了，学生的数学思维根本得不到很好的锻炼和发展．在校本作业上出现的题目：“已知m,n均为整数，且有m(m-n)-n(m-n)=12，求m,n的值．”当把“m,n均为整数”改成“m,n均为正整数”时，其他不变，出现在《点拨》资料上时，学生几乎照搬，也就不奇怪了！
2．3对“新生事物”的认识有个渐进的过程．如对“”的认识
片断4：
学生解答：100，10000，1000000，100…0（共2 n个0）的很普遍，有很多特别优秀的学生也犯类似的错误，刚开始我很不能理解！另一个错误片断使我有了新的认识．
片断5：
16^(1/2) 的算术平方根是______________.这是一道考查算术平方根的试题，刚上新课时，我出示这道题，除了一些“高智商”的家伙不发一言外，其他同学口径一致，认为是4．他们竟然对“”视而不见！在我的暗示下，一些同学才有所醒悟．尽管如此，在后面的测试中出现类似问题时，学生的错误率仍然居高不下！究其原因是对“”的本质没有深刻认识，“”要纳入到学生原有知识结构中要有一个接纳的过程．
2．4审题不够仔细
片断6：
不难看到，这位“粗心”的同学第16题没有将结果保留2个有效数字，第17题没有求出729的平方根．我通过访谈这位同学得知：他对保留2个有效数字及平方根的概念是知道的．访谈这位同学家长得知：他是位酷爱数学的孩子，平时喜欢做难题，但经常在一些简单的问题上犯错，家长也对孩子的“粗心”毛病伤透了脑筋！
解数学问题，第一步是要认真审题，明确问题，找出解题步骤．如果审题不清，或不能准确理解题意，则必然导致错误的发生．这类由于在理解上有偏差而导致解题错误的案例很多．如：
片断7:
我在所任教的初105班作出调查统计：全班66人中有32人写的是解集，另有一部分同学写的整数解还是错误的．经调查部分学生得知：他们认为一见到不等式组，就认为是求解集，显然他们是在没有深入理解题目的情况下做题，其结果可想而知！同类的错误屡见不鲜，如：
解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来：
学生忘记将解集在数轴上表示的大有人在！有些中学生做题急于求快，粗略读题，经常忽略题中的关键性文字．
2．5缺乏生活体验，不能理解题意
初一学生活泼好动，缺乏耐心．这种心理状态反映在数学解题上就是不能仔细阅读题目．调查表明，学生对短小的以及直接用数学语言表示的题目阅读得比较准确；相反，对那些冗长的，以及需要他们转化为数学语言的文字题，阅读偏差较大．
片断8：
我在任教的106班（66人）作了调查统计：仅12人做对，纠其原因，学生缺乏生活体验，现在学生大多买现成的塑料封皮，而使用纸质的人已越来越少，另外大部分同学反映：这个题目不知道是什么意思？即看不懂题目，无法下手！
3、教学策略的改进
3．1、新课的传授上力求展示知识的动态生成过程
在新的课程改革形势下，教材发生了很大的变革，教师有了充分的自主发挥空间，如何利用自己的聪明才智，最大限度地激活学生的思维，是每位教师必需思考的现实问题．笔者认为：在新课的传授上应力求展示知识的动态生成过程．
如在讲授实数内容时，我并不急于给出无理数的概念，而是在黑板上写下“0．”，学生们有些不解，但听说要请两位同学做游戏，都高举了小手．一位同学投掷骰子，另一位同学在黑板上写下朝上一面的点数对应的数字，作为十分位；再掷第二次，记录下第二数字作百分位，……，依次下去．学生情趣高涨，刚开始仅两位同学参与，其他同学当观众．渐渐地大家都开始猜测下一个数字可能是几？猜对了的同学，眉飞色舞；猜错了的同学，也不气馁，因为还有下次机会，个个跃跃欲试，学生的兴致非常高．就在这时，我抛出一个问题：如果这个游戏一直进行下去，将得到一个无限小数，这是我们以往学过的哪一类数呢？就在学生困惑之际，我揭示了无理数的内涵，既避免了空洞说教，又印象深刻，收效甚好！
正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，也是数学解题的基础．概念课的教学方式多种多样，笔者认为：概念课的组织要生动活泼，需讲清概念的形成过程及产生的实际背景．经过尝试，创设适宜情境，将生活情景引入课堂，学生兴趣浓厚，容易进入学习状态，而且可以增强学生的感性体验，培养学生关心生活、热爱生活的意识．
再如在讲授《平方差公式、完全平方公式》一节内容时，多数教师利用前面学过的多项式乘法的方法，很快得出：（a+b）^2、（a-b）^2和（a+b）（a-b）的结果，然后通过强化训练，达到巩固新知的目的．这样做，“投资少，见效快”，殊不知来得快，去得也快，学生在作业时，还是经常发现遗失“积的2倍”的情形！为此，我在讲授《平方差》一节时，采用了如下的导入方式： 
图1
我先出示纸板模型：如图1所示，在边长为a的正方形纸板上截去边长为b的正方形，求余下的纸板面积（即图中阴影部分面积），正如预料的那样，学生脱口而出：a^2-b^2，教师紧接着询问：还有其他方法求吗？
105班袁腾伦同学立即举起了手，这位同学成绩一直不好，常常是答非所问，但积极性一直很高，我不情愿地听他说：(a-b) a 2-(a-b)^2，在写下这个式子的时候，请他解释了一下，提醒大家注意为什么要减去(a-b)^2，虽然他说的不是我所期望的结果．但多年的教学经验告诉我，这也是正常现象．我继续耐心等待！接着出现了以下几个代表性的答案：（1）(a-b) b 2+(a-b)^2；（2）1/2 (b+a)(a-b) 2；（3）(a+b)(a-b)，（如图2所示，限于篇幅，不一一叙述）．功夫不负有心人，奇迹终于出现了！接着我引导学生：他们都表示阴影部分面积，说明这些代数式是（我稍停顿）：（学生说）相等的．我立即板书：a^2-b^2=(a-b) a 2-(a-b)^2=(a-b) b 2+(a-b)^2=1/2 (b+a)(a-b)
新的知识“平方差公式”自然生成！接着让学生利用所学知识，验证这一等式的正确性，既复习了前面所学的知识，又巧妙地引出新的内容，实践证明：利用图形面积引出乘法公式，学生容易接受，参与的积极性较高！《完全平方公式》一节我采用了类似的教学方法，效果也较好．
图2
3．2、学生不爱数学的原因是多方面的：数学比较枯燥，比较抽象，有时比较繁难．怎样让学生爱数学呢？我主要采用寓“变”于教学之中的方法，用“变”的魅力来吸引学生，促使学生爱学数学．
数学题是永远做不完的，多做题固然可以积累经验，但如果善于变题，在变题中掌握一类题的解法，则会以少胜多，且可培养学生探索精神和创造才能．对单个问题的讲解，学生往往不能认识解决这个问题的方法，但对多个类似问题的解答，则可以找出一般规律．如在讲解完完全平方公式： 之后，教师一般会举例讲解完全平方公式变形公式：（1）a^2+b^2=(a+b)^2-2ab；（2）a^2+b^2=(a-b)^2+2ab的应用．下面这道题是老师常用的范例：
【示例一】已知m^2+2m+1=0，求：（1）m^2+1/(m^2)；（2）m^4+1/(m^4)的值
解：（1）∵ m≠0
∴ m+2+1/m=0
∴ m+1/m=-2
∴ m^2+1/(m^2)=(m+1/m)^2-2m*1/m
= (m+1/m)^2-2
= (-2)^2-2
=2
（2） m^4+1/(m^4)=(m^2+1/m^2))^2-2m^2*1/(m^2)
= (m^2+1/(m^2))^2-2
=2^2-2 =2
举这个例子的意图十分明显，就是巩固完全平方公式的变形公式．但一些学生再次碰到类似问题时，仍然不能解决！有的也只是机械模仿，显然靠记忆来解决问题的方法是不牢靠的！
在讲完成这两个例子之后，我补充道：（3）试求m^3+1/m^3的值．教室立刻安静下来，沉思良久，出现了以下几种很富新意的解答．
解法一：（齐天泽同学）左边=(m+1)^2=0，故m=-1，所以m^3+1/(m^3)=(-1)^3+1/(-1)^3=-2
解法二：利用“杨辉三角”的知识： (a+b)^3=a^3+3(a^2)b+3ab^2+b^3
因为： (m+1/m)^3=m^3+3(m^2)*(1/m)+3m(1/m)^2+(1/m)^3
=m^3+3m+3/m+1/(m^3)
=m^3+1/(m^3)+3(m+1/m)
所以： (-2)^3=m^3+1/(m^3)+3*(-2)
所以： m^3+1/(m^3)=-2
解法三：“制造三次方”（根据秦世明同学思路整理）
……
在我刚讲完解法（见教师解法）时，就有同学提出更简便的解法（见学生解法），大多数同学点头表示认可，我只好趁机表扬了这种做法．当我问一些同学为什么不用我的解法时，都说老师做法技巧性过强，不太好想！
多年的教学已经让我们的大脑“僵化”，见到这样的题目，也都是按一贯的思维方式解决，同时还要求我们的学生也用这种“套路”解决问题，就有点勉为其难了．
4、结束语
有些老师穷于应付烦琐的教学内容和过量的题目，解题教学就题论题，孤立求解，主要是为了提高学生的模仿力与复制力，这种忽视学生主体地位的做法只能是造就众多“高分低能”的学生．一旦题目稍作变化，学生就无所适从了．
著名数学家波利亚有句名言：“不断变换你的问题，使学生通过这道题目，就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地．”可见学生的解题错误在一定程度上是由教师的教学策略不当所致。如何不断地变换，改进教学策略，达到学生的最佳接受状态，需要每位教师在实践中不断尝试，不断总结．以上只是我在本学期教学中的一些做法，不妥之处，敬请各位教育专家和教育同仁斧正！
参考文献：
1．雷玲，中学数学名师教学艺术，上海：华东师范大学出版社．
2．桑代克，“试误说”学习理论．
3．[美]G•波利亚，《怎样解题》，上海：上海科技教育出版社．
4．张孝达 吴之季，《数学》七年级（下册），上海：上海科学技术出版社．
5．马鞍山市成功中学《校本作业（七年级数学下册）》．
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