安徽省马鞍山市外国语学校 司擎天
一、教材分析
1、地位作用
圆周角定理及其推论是推导弦切角定理，圆幂定理，圆内接四边形的性质定理的重要理论依据，而且在推证角相等、弦相等、弧相等、相似三角形的判定等方面都着广泛的应用。它的产生、论证还蕴含着深刻的数学思想方法(分类讨论、转化化归)。本节教学共分三课时，这是第一课时。
2、重、难、疑点及解决办法
（1）重点：圆周角的概念和圆周角定理。
（2）难点：认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性。
（3）疑点：学生对圆周角概念理解的偏差。
（4）解决办法：通过电脑演示和学生动手画图体会理解。
3、教学目标
（1）知识目标
理解圆周角的概念，掌握圆周角的定理；准确地运用圆周角定理进行简单的证明计算。
（2）能力目标
通过定理的发现，体验观察、分析、归纳、猜想的思维方法；通过定理的证明，了解分情况证明数学命题的思想和方法。
（3）情感目标
通过对定理的发现和证明，经历探索过程，体验发现乐趣。
（4）德育渗透
通过圆周角定理的证明，体会由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法，感受辩证唯物主义从未知到已知的认识规律。
二、教具学具准备
计算机、实物投影仪、课件、圆规、三角板
三、教学过程
(一)类比引入
1、请同学们观察，图1中的角叫做什么角? 这个角的度数与它所对弧的度数有何关系?
 2、（如图2）请同学们操作计算机，拖动圆心c ，观察点c 与圆的位置关系，概括角的类型。
（点拨）当角的顶点在圆内时，如∠AC B叫圆内角，
当角的顶点在圆外时，如∠AC B叫做圆外角，
当角的顶点在圆周上时，如∠ACB，我们叫它圆周角。
评：1、复习提问为用类比法学习圆周角概念做好铺垫。
2、学生在计算机上利用几何画板操作、观察，培养了学生动手、动脑习惯，渗透了分类讨论思想。
（引出课题)
(二)圆周角的定义
3、对于圆周角的定义，教师不要急于给出，先请同学们给它下定义。
(部分同学可能回答：顶点在圆周上的角叫做圆周角。)
“只要顶点在圆周上，这个角就是圆周角吗?”教师一边引导，一边请学生在机器上操作、观察圆周角两边的运动情况，辨认这些角是否是圆周角。
 （学生通过实践、观察、交流，最终得出圆周角必须具备的两个条件：①顶点在圆周上；②两边都与圆相交。并能形成正确定义：顶点在圆周上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。）
评：1、对定义的引入，先关注学生的元认知，再引导学生操作计算机，动手实践，使新旧认知产生冲突，激发了学生求知欲。
2、以上引入圆周角概念的过程，起到了活化知识目的，突出知识的形成过程，让学生在动态中整体把握圆周角的概念，并为后续“弦切角”的“生成”埋下伏笔。
4、教师再进一步提问：圆心角定义中为什么没有特别指出“两边都与圆相交”呢？
评：提问的目的是消除类比中负迁移的影响。类比是一种重要的数学方法，它有助于启迪学生发现、创新。
(三)圆周角定理
5、圆周角与圆心角都是与圆有关的角，圆心角的度数等于所对弧的度数，那么圆周角的度数和它所对弧的度数是什么关系?
请同学们动手画⊙O中
量、比较两角之间的关系，交流得出的结论。
（学生通过画图、测量、交流得出命题：一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对圆心角度数的一半。)
结论可靠吗？我们一起用计算机再来做个实验!
 （1）改变圆心角的大小，观察圆周角与圆心角的大小关系；
（2）改变点C在⊙O上的位置，观察圆周角与圆心角的大小关系。
评：学生通过自己画图、测量，得到的结论显然不具有一般性，怎样才能更有力地说明结论的正确性呢？利用几何画板分别计算出圆周角与圆心角的度数，通过改变圆心角或圆周角的大小，观察它们之间的大小关系，这样学生不仅对结论确信无疑，更能提高学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，多媒体用得恰到好处。
6、以上命题是从实验中得出的，能否成为定理还有待证明。同学们能结合命题，画出图形，写出已知，求证吗？
（学生往往只画出一种情形的图形，为了引导学生发现其它情形的图形，可将部分学生画的图形，利用实物投影仪展示出来，组织学生展开讨论、交流，并鼓励学生操作计算机进行观察）。最后归纳出以下三种情形：
 ①圆心O在圆周角∠ACB的一边上；
②圆心O在圆周角∠ACB的内部；
③圆心O在圆周角∠ACB的外部；
评：学生通过动手实践、自主探索与合作交流等数学活动，发现结论，这体现新课标提倡的学习方式多样化基本理念。
7、先从哪里开始证明呢?
如果学生不能从情形①入手，教师可以不失时机地点拨：“在这三个图形中，哪一种位置关系最特殊呢?”学生一经启发，会恍然大悟，开始研究情形①。很快学生就会发现，只要利用“等边对等角”，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和”就可以证明结论。
评：渗透从特殊到一般的数学思想方法。
再进一步研究其他情况。如果O点在∠ACB内部时，还能不能像第①种情况那样证明呢?
该怎么办呢?
让学生去尝试，待学生遇到障碍后，教师指出：特殊情况已知时，我们往往将一般情况转化为特殊情况，把未知化为已知。那么，情形②能不能向情况①转化呢?
怎么转化呢?(作直径CD)
辅助线添加出来了，问题也就迎刃而解了。
有了前面的经验，至于情形③，教师完全可以交给学生自行解决。对于个别基础薄弱的学生，教师可作出直径CD，从而将情况③转化为情况①。
评：渗透化未知为已知的数学思想方法。
8、请把证明过程规范地书写一遍。
教师可在黑板上写下：
①当O在圆周角一边上时，……
②当O在圆周角内部时，……
③当O在圆周角外部时，……
余下的工作让学生完成，教师通过巡视，个别矫正，以期切实掌握。
待学生写好后，师生共同将“命题”改为“定理”，指出这就是“圆周角定理”。
评：数学教学是数学活动的教学。通过这种教学设计，学生参与了探索和发现知识的全过程，并体验到数学家们发现、研究、证明此定理的曲折经历。这正如新课标所指出的：教师应激发学生学习的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
(四)定理的应用
例1：如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC。求证：∠ACB=2∠BAC。
 例1由教师引导学生结合图形分析证明思路，证明过程请一名中等生上黑板完成，其他同学把证明写在练习本上。
评：让学生先尝试，可以充分暴露学生思维过程，及时捕捉思维缺陷，有利于教师利用学生错误资源进行教学，对提高课堂教学效率有益。
练习：第29页第1、2、3、4题。
补充：5、求圆中的角x的度数：
 （五）师生共同小结。
五、总结、扩充
这节课主要学习了两个知识点：
1、圆周角定义；
2、圆周角定理及其定理的应用；在定理的证明过程中，渗透了分类讨论和转化的数学思想方法。
六、作业
课本第31页第1、2、3题。
思考题
1、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧之间、弦之间、弦心距之间的关系怎样?
2、同弧所对的无数多个圆周角的大小关系如何?
评：这两道思考题是本节课知识的延续，同时也是与圆心角相应性质的一个自然的类比，有助于学生反思所学，将新旧知识纳入到同一系统之中。
【教学反思】
1．以发展学生的思维能力为中心。
数学思想方法是数学素质的重要体现，本节课引导学生自主探索，通过观察、实验、猜测、验证、推理等数学活动，发现定理、证明定理。 其中“从特殊到一般”、“由一般到特殊”、体现了“化末知为已知”的重要数学思想方法，这对提高学生的数学思维能力和数学素养将会产生深远的影响。
2．以问题为栽体。
思维总是从问题开始的，有问题，学着才主动。学生充分利用电脑，动手实践，自主探索，合作交流，在不断解决问题中学习，知识得到了掌握，能力得到了训练，情感得到了体验，各方面都取得了全面和谐的发展。
3．以活动为主线，发挥“双主”作用。
赫尔巴特的“讲授一接受式”是以“讲授”为主线，重在传授知识。杜威的“活动一体会式”是以“活动”为主线，重在培养能力。本节课则以活动为主线，把两者的长处有机地结合在一起，既突出了学生的主体地位，又充分发挥了教师的主导作用。
4．在本节课的教学中，教师、学生及四个教学环节构成了一个连续封闭的回路，形成了一个完整的可控系统。（见“《圆周角》教学过程流程图）。这样设计的目的是保证从学生到教师，从教师到学生，信息流畅，反馈即时，评价即时，矫正即时。提高课堂思维密度，减少课外作业量，切实减轻学生的课业负担，既提高了课堂效益又把充裕的课外时间留给了学生。
《圆周角》教学过程流程图
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